說明書 LACIE NETWORK SPACE 2 QUICK GUIDE

[. . . ] 83 交通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 第五章：Evolver 参考指南 87 模型定义命令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 “最优化设置”命令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 “开始最优化”命令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [. . . ] 他爬错了山丘！（请参见下表）。 如果从一个略微不同的位置（右图）出发， 则即使采用平滑函数，登山仍会失败。 登山只能找到最近的山顶或局部最大值。因此，如果您的问题具有一个 崎岖不平的解法地形，则如同最切合实际的模型一样，登山不大可能会 找到最高的山丘，甚至是其中之一。 登山还有另一个问题；我们如何真正确定我们当前位置周围的地形？ 如果地形采用平滑函数描述，则其可能会使用微分（一种微积分方法） 来确定哪个方向具有最陡峭的山坡。如果地形是中断的或不可微分 （现实问题中更有可能），则我们需要计算附近方案的“适应度”。 132 最优化方法 例如，假设一家银行雇佣了一名警卫，负责从上午 9:00 至下午 5:00 守卫 银行，但银行必须为该警卫提供两次 (2) 半小时的休息时间。我们必须 依据有关效率/疲劳比的一般规则，并考虑一天内不同层次的客户活动， 以尝试确定最合适的休息时间。我们可以先试行不同的值班休息组合并 对其进行评估。如果我们当前使用休息时间为上午 11:00 和下午 3:00 的 时间表，则可以计算周围方案的生产率： 方向 当前解法 西方方案 东方方案 北方方案 南方方案 休息时间 1 (x) 上午 11:00 上午 10:45 上午 11:15 上午 11:00 上午 11:00 休息时间 2 (y) 下午 3:00 下午 3:00 下午 3:00 下午 3:15 下午 2:45 – 得分”(z) = 46. 5 = 44. 67 = 40. 08 = 49. 227 = 43. 97 如果我们有 3 个可调整单元格（休息时间），而不是 2 个，我们将需要 查看 8 个不同的方向。事实上，如果我们只有 50 个变量（对于中型问题 十分合理），则我们将需要计算 250 次生产率，或超过一千万亿种方案， 但仅仅只为一名警卫！！ 可以对登山做出修改以提高其查找全局最大值 （整个地形中最高的山丘） 的能力。登山在处理单一模式（单峰）的问题时极其有用，这就是为什 么有些分析程序采用此方法的原因。然而，对于复杂和/或大型问题， 此方法将非常有限。 第六章：最优化 133 134 Excel Solver Excel 包含一种称为 Solver 的最优化实用工具。它与 Evolver 的功能略 有相似：查找优化解法。Solver 可以解决两种类型的问题：线性问题和 简单的非线性问题。它使用线性编程例程解决线性问题。这种经典的数 学方法通常称为单一法，此方法将始终查找小型、纯粹线性问题的理想 答案。 Microsoft Solver 还可以使用登山例程 与其他大多数婴儿求解程序相同， （尤其是 GRG2 例程）来解决非线性问题。登山例程从当前的变量值开 始，并慢慢对其进行调整，直到模型的输出项不再有所提高。这意味着 具有多个可能解法的问题也许无法通过 Solver 得到很好的解决，因为 Solver 在 某 个 局 部 解 法 上 结 束 ， 并 且 无 法 跳 过 整 体 解 法 （ 请 参 见 下图）。 可能解法的地形。 此外，Solver 还要求您的模型所表示的函数是连续函数。这表示输出项 应随着输入项的调整平稳变化。如果您的模型使用查找表、从其他程序 中获取噪声、实时数据、包含随机成分或涉及假定规则，则此模型将急 剧变化且不连续。Solver 将无法解决此类问题。 Solver 还对变量数和问题中的约束条件数 (200) 加以限制，超过此限制 时您必须求助更强大的方法。 第六章：最优化 135 Evolver 与 Solver Excel Solver 和 Evolver 都各有其优缺点。一般来说，Solver 解决小型 简单问题时速度较快， 但 Evolver 是解决许多其他类型问题的唯一方法。 此外，您可能会发现对于更大型、更复杂的问题（“现实情况中”经常 出现的类型），Evolver 将会找到比 Solver 更好的答案。 Evolver 可以为其查找答案的问题种类要远远多于 Solver。几乎所有可 以在 Excel 中建模的数字问题都可以使用 Evolver 进行最优化。 尤其值得一提的是，Evolver 可以找到线性、非线性、基于表格或随机 数字问题的优化解法。它可以采用这些特质的任意组合来解决问题。 Evolver 还可以生成现有值的排列、重新排序这些值，或以不同方式对 这些值分组以找到优化解法。事实上，只要您有一个带有变量的电子表 格模型，并且可以调整这些变量来影响模型的输出项，Evolver 就能够 以智能化方式查找数千个方案并跟踪最佳方案来自动化搜索过程。 Evolver 的遗传算法进程比 Solver 更适于进行中断；您可以随时停止 Evolver 进程并查看 Evolver 到目前为止找到的最佳解法。然后，您可 以对问题本身进行更改，并从您停止的位置继续此进程。例如，在一个 工作日程安排问题中，您可能希望确定向机器分配的最佳任务。当一台 机器可以使用时，您可以停止遗传算法进程，以确定要为该机器分配的 最佳任务。然后，此任务可以从该问题中忽略，而最优化可以继续剩余 的工作。 使 Evolver 能够处理所有这些类型的问题的遗传算法通常比 Solver 和 其他传统的数学或统计方法要慢。某些类型的问题具有众所周知且经过 精心微调的可用最优化例程。在此类情况下，您可以通过使用自定义方 法更快地找到答案，而不是 Evolver 中使用的通用方法。 136 Excel Solver 何时使用 Evolver 一般来说，应在以下情况下使用 Evolver： 1) 传统算法无法生成良好的整体解法。 2) 问题过大并且/或者包含超过算法能够处理的变量数量。 3) 问题过于复杂以至无法通过其他任何方法解决。 4) 您的模型涉及了随机数、查找表、假定陈述或禁止使用传统求解程序 的任何其他不连续函数。 5) 您不知道解法可能是什么，并因此尚未开始猜测传统求解程序必须从 何处开始其搜索。 6) 您希望可以使问题（X 必须等于 Y）中的某些“严格”约束条件更加 “宽松”，并因此更加准确（X 应等于 Y，否则我会丢失某些 Z）， 从而研究更大范围内可能更好的解法，即使获取这些解法会违反某些 约束条件。 7) 您宁愿为问题迅速找到一个相当好的解法，也不愿为了一个绝佳解法 而等待较长时间。 8) 您需要许多接近最佳解法的备择解法。 9) 你希望将一个简单、强大的搜索算法嵌入到自己的自定义应用程序中 （有关详细信息，请参见“Evolver Developer Kit”）。 注：如果时间允许，除其他方法外，还可以始终使用 Evolver 检查解法 的准确性。尽管需要的时间可能比其他方法更多，但 Evolver 可以找到 的更好解法，可能最值得您投入时间。 请记住，由于 Evolver 不需要知道问题的“具体细节”，因此对于用户 不了解其中的线性编程方法、最优化理论、数学或统计的问题，Evolver 也可以解决。使用 Evolver 时，用户仅需设置变量（包含可调整的值的 单元格）、目标（包含输出项的单元格），以及 Evolver 在搜索优化解 法时可能使用的值的描述。 第六章：最优化 137   138 问题类型 通常对几种不同类型的问题进行最优化。如果您了解这些类型的问题， 则能够更好地将 Evolver 应用到自己的模型。 线性问题 在线性问题中，所有输出项都是输入项的简单线性函数，如 y=mx+b。 如果问题只使用简单的数学运算（例如，加法、减法），以及 Excel 函 数（例如，TREND() 和 FORCAST()），则表示变量之间存在纯粹的线 性关系。 由于计算机的出现和 George Dantzig 单一法的发明，线性问题一直很容 易解决。 简单的线性问题可以通过线性编程实用工具以最快且最准确的方 式解决。当您选中“假设线性模型”复选框后，Excel 中随附的 Solver 实 * 用工具也将成为线性编程工具。 然后， Solver 将使用线性编程例程快速找 到理想的解法。如果您的问题可以采用纯粹的线性术语表示，则应使用线 性编程。不巧的是，大多数现实问题无法以线性方式描述。 非线性问题 如果制造并运送 5, 000 个零部件的成本为 5, 000 美元， 则制造并运送 1 个 零部件的成本将会是 1 美元吗？实际情况可能并不是如此。零部件工厂 的装配线仍需消耗能源，文书工作仍需通过各部门填写和处理，材料仍 将采取批量方式购买，货车仍需相同数量的汽油来运送零部件，而且无 论装载量如何，仍需支付货车司机一天的工资。大多数现实问题不会涉 及具有简单线性关系的变量。这些问题涉及了乘法、除法、指数，以及 内建 Excel 函数，如 SQRT() 和 GROWTH()。当变量相互共享一种不成 比例的关系时，问题将成为非线性问题。 非线性问题的最佳示例是化学工厂中制造过程的管理。假设我们想要混 合一些化学反应物并最终获得一种化学产品。此化学反应的速率可能会 根据可用的反应物量而呈非线性变化；在某一时刻，催化剂将变成饱和 且过量的反应物，而起到阻碍作用。下图显示了这种关系： * 有关 Microsoft Solver 实用工具的更多信息，请参见 Excel 的用户指南。 139 第六章：最优化 如果我们只需确定可以获得最高反应速率的反应物最低含量，则只需在 图表上的任何位置开始并沿着曲线向上攀升，直至到达顶点。这种查找 答案的方法称为登山。 如果 a) 正在研究的是平滑函数，并且 b) 初始变量值位于最高山脉的一 侧，登山将始终可以找到最佳答案。如果未满足任一条件，则登山能够 以局部解法结束，而不是整体解法。 高度非线性问题（实践中经常出现的类型）在整个复杂地形中有多种 可能的解法。如果一个问题有多个变量，并且/或者涉及的公式非常嘈 杂或弯曲，则即使采用不同的起始点尝试数百次，也可能无法通过登山 找到最佳答案。最有可能的是找到一个次优化的极其局部的解法（请参 见下图）。 登山算法可以确定局部最大值， 但并非整体最大值。 噪声数据：登山算法无效， 即使尝试多次。 Evolver 不使用登山算法，而是使用一种随机的直接搜索方法，称为遗 传算法。这使 Evolver 可以在问题的解法空间中随意跳动，以查看多种 输入值组合，而不会在遇到局部最优值时停滞不前。此外，Evolver 还 可以使较好的方案彼此“交流”，以获得有关整体解法的地形外观的有 价值信息，然后使用此信息来更好地推测哪种方案可能会取得成功。如 果您有一个复杂或高度非线性的问题，您应当且必须经常使用 Evolver。 Evolver 可以生成多个可能的方案，然后 根据其收到的反馈来完善搜索。 140 问题类型 基于表格的问题 许多问题需要使用查找表和数据库。例如，在选择不同材料的购买数量 时，您可能需要查看不同数量的价格。 表格和数据库会使问题不连续（不平滑）。这使登山例程与 Solver 一样 很难找到优化解法。但是，Evolver 不要求其评估的函数中存在连续性， 并且可以为基于表格的问题，甚至是使用多个大型相关表格的问题找到 良好解法。 如果您的问题涉及了从数据库或 Excel 数据表（其中，表项目的索引为 变量或变量的函数）中查找值，则需要使用 Evolver。如果您只在表格 中查找单个常数项（无论输入变量的值如何，都将在表格中检索到相同 记录），则您实际上只处理一个常数，并且或许可以有效地使用 Solver。 组合问题 有一大类与目前所研究过的数字问题极其不同的问题。这种输出项涉及 现有输入变量顺序的更改，或输入项子集分组的问题称为组合问题。这 些问题通常难以解决，因为其通常需要指数时间；即解决含有 4 个变量 的问题所需要的时间量可能是 4 x 3 x 2 x 1，而将变量数加倍至 8 会使解 决时间上升至 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1，或因子为 1, 680。变量数目翻 了一倍，但必须检查的可能解法的数量却增加了 1, 680 倍。例如，为棒 球队选择首发阵容就是一个组合问题。对于 9 名队员，您可以从这 9 人 中选择一人作为第一击球手。然后，可以从剩余的 8 人中选择一人作为 第二击球手，剩余的 7 人中将有一人成为第三击球手，依次类推。因此， 使用 9x8x7x6x5x4x3x2x1（9 的阶乘）种方法选择一个 9 名队员的阵容。 这大约是 362, 880 种不同的次序。现在，如果将队员的人数翻一倍，则将 有 18 的 阶 乘 个 可 能 的 阵 容 ， 或 6, 402, 373, 705, 000, 000 个 可 能 的 阵容！ Evolver 的遗传算法以智能化方式搜索可能的排列。这比搜索所有可能 性更为实际，并且比纯粹查看随机排列更为有效；可以保留良好方案中 的子次序并使用其来创建更好的方案。 第六章：最优化 141 142 第七章：遗传算法 简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 历史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 生物示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 数字示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 第七章：遗传算法 143 144 简介 Evolver 使 用 遗 传 算 法 搜 索 模 型 的 最 佳 答 案 。 Evolver 是 一 款 由 Palisade Corporation 开发的 Excel 最优化插件，所使用的遗传算法就 是根据 Evolver 改编。本章提供了有关遗传算法的背景信息，以便深入 了解如何使用其来对模型进行优化。 历史 遗传算法由密歇根大学的 John Holland 于 20 世纪 70 年代初期首次提 出。生物系统能够执行甚至是最强大的超级计算机也不敢涉足的任务， 这种轻松便捷给 Holland 留下了深刻的印象；动物可以完美地识别 对象、理解和转化声音，并且通常几乎可以瞬间浏览动态环境。 几十年来，科学家们已承诺要在计算机中复制这些功能，但我们刚刚开 始认识到这是多么困难的任务。大多数科学家都认为显示这些特质的所 有复杂生物系统都是按此方式进化。 进化论 进化（至少理论如此）以惊人的能力通过相对简单且自我复制的构成要 素，按照以下一些简单规则生成系统： 1) 进化发生在染色体级别。组织不会进化，仅充当携带和传送基因的容 器。它是以动态方式随着每个重新排列的基因改变的染色体。 2) 大自然往往会制造出更多的染色体副本，这些副本将生成更“合适” 的组织。如果一个组织存活了足够长的时间并且健康，则其基因更有可 能通过繁殖遗传给新一代的组织。此原则通常称为“适者生存”。请记 住，“适者”是一个相对术语；与当前群体中将要“成功”的其他组织 相比，某个组织仅需要适合。 3) 必须保持群体中的多样性。从表面上看，大自然中会频繁发生随机突 变，以确保组织中的变化。这些基因突变通常会为物种的生存带来一个 有用且甚至是关乎生命的特征。通过更为广泛的可能组合，减小了能够 摧毁群体的共同弱点（病毒等）或与同系繁殖相关的其他问题对群体的 影响。 第七章：遗传算法 145 我们将进化分解成这些基本构成要素之后，在计算世界中应用这些方法 将变得更加容易，并且真正开始向更为流畅、行为更自然的计算机迈进。 Holland 开始将这些进化特性应用到代表染色体的简单数字字符串中。 他首先将自己的问题编码为二进制字符串（行“1”和“0”）来代表染 色体，然后让计算机生成许多这种“位”串以形成其整个群体。对能够 评估和排名每个位串的适应度函数进行编程，而那些被认为是最“适 合”的字符串将通过“交叉”例程与其他字符串交换数据，以创建“子 孙”位串。Holland 甚至使其数字染色体从属于“突变”运算符，此运 算符在生成的“子孙”染色体中注入随机性以保留群体中的多样性。此 适应度函数替代的是生物界中死亡的角色；它确定了哪些字符串足够好 可以继续繁殖，而哪些将不再保留在内存中。 程序可以在内存中保存特定数量的此类“染色体”，而整个字符串“群 体”将继续进化，直到其最大化适应度函数。然后，将结果解码回其初始 值以显示解法。作为这一领域的先驱，John Holland 现在仍然非常活跃， 并且现在已有数百名科学家和学者加入。 他们将自己的大部分时间都投入 到了这一富有希望的传统线性编程、数学和统计方法的替代方法中。 Holland 的原始遗传算法十分简单，但功能相当强大，它可以找到各种 问题的优化解法。如今，许多自定义程序只是使用此原始遗传算法的略 加修改版本来解决非常庞大且复杂的现实问题。 遗传算法的现代 化改造 由于学术界对遗传算法的兴趣不断增大，因此开始将遗传算法的强大计 算能力转移到主流台式计算机上，像 Microsoft Windows 和 Excel 之类 的标准使复杂模型的设计和维护更为简单。使用实数（而不是位串）表 示消除了编码和解码染色体方面存在的困难。 现在，随着各类研讨会、书籍、杂志文章和知识丰富的顾问人员的出现， 遗传算法的受欢迎程度越来越高。遗传算法国际研讨会已重点关注实际 应用，这是摆脱其他“人工智能”技术的成熟表现。许多世界 500 强公 司定期采用遗传算法来解决现实问题，从经纪公司到发电厂、电话公司、 连锁餐厅、汽车制造商及电视网络。事实上，您可能以前就已经间接地 使用了遗传算法！ 146 历史 生物示例 让我们看一个生物界的简单进化示例（小规模）。我们在这里所讲的“进 化”是指有关群体中基因分布或频率中的任何变化。当然，有关进化的一 件有趣的事情就是它往往会引导群体不断地去适应它们所生活的新环境。 设想我们正在观察一群老鼠。这些老鼠有大和小两种尺寸，并且包含两 种颜色 — 浅色或深色。我们的群体由以下八只老鼠组成： 有一天，猫来到了老鼠附近，并且开始捕食这些老鼠。结果是深色和较 小的老鼠很难被猫发现。因此，对于是否能够长时间躲避猫而不被捕食 并繁殖下一代，不同的老鼠有不同的机率。这样就影响了下一代老鼠的 类型。假设当前这一代老鼠在繁殖之后很快死去，则下一代的老鼠可能 会如下所示： 请注意，大老鼠、浅色老鼠，尤其是浅色的大老鼠很难长时间存活并进 行繁殖。这种情况将在下一代中继续。 现在，该群体大部分由深色的小老鼠组成，因为这些老鼠比其他类型的老 鼠更适合在这种环境下生存。同样，由于能吃到的老鼠越来越少，猫开始 挨饿，也许那些更喜欢以青草作为午餐的猫将能够更好地适应，并将它们 喜爱青草的基因遗传给下一代猫。这就是“适者生存”的核心概念。更确 切地说，它能够表达为“生命的延续”。在进化期间，作为群体中最健康 的单身汉是毫无用处的，因为必须繁殖才能使基因影响后代。 第七章：遗传算法 147   148 数字示例 假设有一个包含两个变量 X 和 Y，并生成结果 Z 的问题。如果针对每个可 能的 X 和 Y 值来计算和绘制生成的 Z， 我们将会看到解法“地形”的形成 （另在第六章：最优化中进行讨论）。自我们尝试查找最大的“Z”值 以来，此函数的高峰为“良好”解法，而低谷为“较差”解法。 当使用遗传算法来最大化函数时，我们会先随机创建几个可能的解法或 方案（黑点），而不仅仅是一个起始点。然后，我们将针对每个方案计 算函数的输出项，并将每个方案绘制成一个点。接下来，按照海拔从最 佳到最差的顺序对所有方案进行排名。我们保留上半部分的方案，丢弃 其他方案。 首先，创建可能解法的整个“群体”。 有些解法将优于（高于）其他解法。 然后，对它们进行排名并保留 产生较好结果的解法。 第七章：遗传算法 149 剩余三个方案中的每个方案将自行复制，从而将方案数目调回到 6。现 在来到了有趣的部分：这 6 个方案中的每个方案都由两个可调整的值组 成（绘制为 X 和 Y 坐标）。这些方案随机相互配对。现在，每个方案都 将其两个可调整值的第一个与其伙伴中的相应值进行交换。例如： 之前 方案 1 方案 2 3. 4, 5. 0 2. 6, 3. 2 之后 2. 6, 5. 0 3. 4, 3. 2 这种操作称为交换，或交叉。当我们的 6 个方案随机配对并执行交叉时， 我们可以获得一组新方案，如下所示： 在上例中，我们假设 3 个初始方案 a、b 和 c 与副本 A、B、C 进行配对 形成了对 aB、bC、bA。然后，这些对将交换第一个可调整单元格的值， 在我们的图表中这相当于交换点对之间的 x 和 y 坐标。随着方案群体的 “死亡”和“出生”的循环，其刚刚经历了一代。 150 数字示例 请注意，有些新方案生成的输出项比我们在原来一代中看到的任何一个 都低（较低的海拔）。但是，某个方案已在最高山丘的高处移动，这表 示进度。如果我们让群体进化为另一代，则可以看到以下类似场景： 您可以看到方案群体的平均表现如何超过上一代进行提高。在此示例中， 没有留下很大的改进空间。这是因为只有 6 个组织，每个组织只有 2 个 基因，而且无法创建新的基因。这表示有一个有限的基因群。该基因群 是群体中所有组织的所有基因的总和。 遗传算法可以通过复制生物进化中的更多内在优势来变得更加强大；这 将增加每个组织的基因数量，增加群体中的基因数量，并允许偶然的随 机突变。此外，我们还可以选择其生存和繁殖更像是自然发生的方案： 让略有偏差的随机元素接近那些表现更好的元素，而不是简单地选择最 佳表现者进行繁殖（即使是最大且最强壮的狮子也可能会被闪电击中）！ 所有这些方法都促进了基因的改良，并有助于保持基因群中的多样性， 从而保留所有可用的基因类型，以备其在不同组合中变得有用的情况。 Evolver 可以自动执行所有这些方法。 第七章：遗传算法 151 152 第八章：Evolver 附加说明 添加约束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 范围约束条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 严格约束条件 — 自定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 宽松约束条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 惩罚函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 输入惩罚函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 查看输入的惩罚函数的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 查看已应用的 惩罚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 在工作表中输入宽松约束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 惩罚函数的更多示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 使用惩罚函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 多目标问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 提高速度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 如何执行 Evolver 的最优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 交叉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 突变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 替换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 约束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 第八章：Evolver 附加说明 153 154 添加约束条件 在我们搜索最佳答案时，现实问题通常具有许多必须符合的约束条件。 例如，在查找成本最低的变压器设计的教程中，其中一个约束条件是变 压器必须保持冷却，散热不得超过 0. 16 瓦/平方厘米。 符合模型中所有约束条件的方案称为可行或“有效”解法。有时很难为 模型找到可行的解法，更不用说找到最佳的可行解法。这可能是因为问 题非常复杂，只有少量可行的解法，或者因为过度指定了问题（约束条 件过多或某些约束条件与其他约束条件冲突），并且没有可行的解法。 约束条件有三种基本类型：范围约束条件，或可调整单元格中放置的取 值范围，必须始终符合的严格约束条件，以及我们希望尽可能符合，但 可能会为了大大改进适应度而愿意做出让步的宽松约束条件。 范围约束条件 最简单的严格约束条件是施加在变量自身上的约束条件。通过在每个变 量上设置特定范围，我们可以限制 Evolver 将要搜索的可能解法的总数， 从而进行更有效的搜索。在“模型”窗口的“可调整单元范围”部分中 输入最小值和最大值，以告知 Evolver 每个变量可以接受的值范围。 Evolver 将只对指定单元格尝试介于 0 到 5, 000 之间的值。 第八章：Evolver 附加说明 155 第二种施加在变量上的严格约束条件内置在 Evolver 的每个求解方法 （菜单、顺序、分组等）中。例如，当我们使用“预算”求解方法调整变 量时，就意味着 Evolver 被严格约束为只尝试相加了相同数量的值组。与 范围设置相同，此严格约束条件也可以减少必须搜索的可能解法的数量。 “模型”对话框中的整数选项也属于严格约束条件，它告知 Evolver 在调 整变量值时仅尝试整数值（1、2、3 等），而不是实数（1. 34、2. 034 等）。 严格约束条件 — 自定义 不属于 Evolver 变量约束条件的所有约束条件都可以使用“约束条件设 置”对话框输入。 注：与自然界的进化方式相同，遗传算法解决问题的能力主要在于其可 以随意研究多种可能解法的组合，并自然而然地偏向于最佳解法。如果 我们禁止 Evolver 查看不符合要求的解法，则遗传算法最优化进程可能 会出现问题。 如果工作表中的初始方案本身符合约束条件，则 Evolver 将始终可以轻 松地找到符合严格约束条件的解法。这可以使 Evolver 知道有效解法空 间中的起始点。如果您不知道符合约束条件的方案，则使用任何初始方 案运行 Evolver，它将尽力找到符合约束条件的方案。 156 添加约束条件 宽松约束条件 强制程序只查找符合所有约束条件的解法会导致无法找到可行的解法。 通常，拥有大概可行的解法更为有用，但此类解法中可能会有少量解法 未能满足约束条件。 使用必须符合的“严格约束条件”的替代方法是使用“宽松约束条件” 重新配置问题；这是 Evolver 尽量满足的约束条件。这些宽松约束条件 通常更为切合实际，并允许 Evolver 尝试更多选择。在高度限制的问题 中 （其中没有很多符合您的所有要求的可能解法） ， 如果允许 Evolver 获 得有关接近于满足约束条件的一些解法的反馈，则其遗传算法将更有可 能找到最佳解法。 当约束条件为设计目的时（如“生产两倍于刀数量的叉”），完全满足 约束条件则往往并不是那么重要：尤其是在获得一个完美均衡的生产日 程安排时，需要长达一天的最优化过程。在这种情况下，一个几乎符合 约束条件（产量为 40% 的叉、23% 的刀、37% 汤匙）的良好问题解法通 常比等待了一整天发现也许没有解法要好一些，因为不可能符合所有约 束条件。 惩罚函数 宽松约束条件可以通过使用惩罚函数在 Excel 中轻松执行。我们不再告 知 Evolver 在查找解法时绝不能使用特定值，而是我们允许研究那些 “无效”值，但我们将相应地对这些解法做出惩罚。例如，您的问题可 能涉及使用约束条件“您只能使用三辆货车”来确定配送货物的最有效 途径。更准确的模型将包括一个允许您使用更多辆卡车，但在利润中增 加了巨大成本的惩罚函数。惩罚函数可以在“约束条件设置”对话框中 指定，或通过添加表示惩罚函数的公式直接在模型中输入。 输入惩罚函数 第八章：Evolver 附加说明 157 Evolver 具有默认惩罚函数，此函数在您首次输入宽松约束条件时显示。 但是，可以在不符合宽松约束条件时，输入任何有效的 Excel 公式来计 算要应用的惩罚数额。输入的惩罚函数应包括关键字偏差，此关键字表 示约束条件超出其限制时所依据的绝对量。在试验解法结束时，Evolver 会检查是否已符合宽松约束条件；如果不符合，它将在输入的惩罚公式 中加入偏差量，然后计算要应用到要最小化或最大化的目标单元格值的 惩罚数额。 您可以在目标单元格值中添加或减去惩罚数额，以降低其“最佳”程度。 例如，如果在 Evolver“模型”对话框的查找字段中选择了最大值，则 将从目标单元格值中减去惩罚数额。 查看输入的惩罚 函数的影响 Evolver 包括一个 Excel 工作表 PENALTY. XLS， 此工作表可以用于评估 不同的惩罚函数对特定的宽松约束条件和目标单元格结果的影响。 PENALTY. XLS 允许您从模型中选择一个希望分析其影响的宽松约束条 件。然后，您可以更改惩罚函数，以查看此函数如何将未符合的宽松约 束条件的特定值设为特定的惩罚目标值。例如，如果宽松约束条件为 A10<100，您可以通过 PENALTY. XLS 查看在使用数值 105 计算单元格 A10 时，目标值将会是多少。 查看已应用的 惩罚 在由于不符合宽松约束条件而应用惩罚时，可以在“Evolver 观察器” 中查看所应用的惩罚数额。此外，惩罚值还会显示在“最优化日志”工 作表中，您可以在最优化之后选择创建此工作表。 158 添加约束条件 在工作表中输入 宽松约束条件 惩罚函数也可以直接在工作表中输入。布尔惩罚函数将针对不符合指定 约束条件的所有方案分配设定的惩罚。例如，如果您想让单元格 B1（供 应量）中的值至少与单元格 A1（需求量）中的值一样大，则可以在另一 个单元格中创建此惩罚函数：=IF(A1>B1, -1000, 0)。如果将此单元格的 结果添加到目标单元格的值，则每当 Evolver 尝试违反此约束条件的解 法时（即供应量不能满足需求量），要最大化的目标单元格的值将显示 一个比实际结果少 1, 000 的值。违反此约束条件的任何解法都会为目标 单元格生成一个较低的值，并且 Evolver 最终将“消除”这些组织。 您也可以使用比例惩罚函数，此函数可以针对违反约束条件的严重程度 更准确地对解法进行惩罚。这在现实情况中往往更为实际，因为其中供 应量不太能满足需求的解法会比供应量甚至没有接近需求量的解法要好 一些。简单的比例惩罚函数可以计算约束条件的目标值与其实际值之间 的绝对差。例如，在 A1（需求量）不应超过 B1（供应量）的同一示例 中，我们应分配以下惩罚函数：=IF(A1>B1, (A1-B1)^2, 0)。此类惩罚函 数可以衡量接近要符合的约束条件的程度，并通过对 A1 与 B1 之间的差 进行平方来增大该差值。现在，我们的惩罚会根据解法违反约束条件的 严重程度进行变化。 惩罚函数的更多 示例 例如，假设您创建了一个制造模型，其中的一个约束条件是使用的木材 量 应 等 于 使 用 的 塑 料 量 。 此 约 束 条 件 在 “AmountWood”= “AmountPlastic”时得到满足。 我们想要找到包含相同数量的这两种材 料的解法，所以我们创建一个惩罚函数来阻止偏离我们目标的解法。公 式“=ABS(AmountWood-AmountPlastic)”可以计算要使用的木材量和塑 料量之间的绝对（非负数）差。通过使用 ABS() 函数，我们可以在 AmountWood 比 AmountPlastic 多 20， 或 AmountPlastic 比 AmountWood 少 20 时得到相同的惩罚值。现在，当我们最优化模型时，我们的目标是 将此绝对差最小化。 假设我们改为施加以下约束条件：木材量必须是塑料量的两倍。惩罚函 数将会是： =ABS(AmountWood-AmountPlastic*2) 另一种可能的约束条件是木材量应不少于塑料量的两倍。上一个示例在 木材量过多时应用惩罚，而在此示例中，我们只关注木材量是否不足； 如果 AmountWood 是 AmountPlastic 的十倍，则我们不希望应用惩罚。 相应的惩罚函数将会是： =IF(AmountWood<AmountPlastic*2, ABS(AmountPlastic*2-AmountWood), 0) 如果 AmountWood 的大小至少是 AmountPlastic 的两倍，则惩罚函数 返回 0。否则，它将计算 AmountWood 的值比 AmountPlastic 的两倍 小多少。 第八章：Evolver 附加说明 159 使用惩罚函数 在模型中创建惩罚函数来描述宽松约束条件后，您可以将其与正常的目 标单元格公式结合以获取受约束的目标单元格公式。在下面显示的示例 中，如果单元格 C8 计算项目的总成本，并且单元格 E3:E6 包含 5 个惩 罚函数，则您可以在单元格 C10 中创建一个诸如 =SUM(C8, E3:E6) 之类 的公式。 创建一个可以将约束条件添加到总成本的单元格，并将此单元格的值最小化。 这样可以在 C8 的成本中加上 E 列中的惩罚，从而在 C10 中获取受约束 或惩罚的成本函数。请注意，如果这是一个最大化问题，您将在初始目 标单元格中减去惩罚值， 而不是加上惩罚值。 现在， 当您使用 Evolver 时， 您只需选择此受约束的单元格 C10 作为将要对其值进行最优化的目标 单元格。 当 Evolver 尝试对受约束的目标单元格值进行最优化时，惩罚函数会 趋向于强制搜索符合约束条件的方案。最后，Evolver 将获得属于良好 答案且符合或几乎符合所有约束条件（惩罚函数将具有接近 0 的值）的 解法。 160 添加约束条件 多目标问题 您可能只能在 Evolver 的目标单元格字段中指定一个单元格，但仍可以 通过创建一个可将两个目标合二为一的函数来解决多个目标。例如，作 为一名聚合物科学家，您可能会尝试制造一种柔韧而坚固的物质。您的 模型将计算特定化学物组合所产生的强度、韧性和重量。要使用的每种 化学物的数量是此问题的可调整变量。 由于您想要最大化物质的强度（单元格 S3），并最大化其韧性（单元格 F3），因此您将要创建一个包含以下公式的新单元格：=(S3+F3)。这将 是新的目标单元格，此单元格的数字越大，则整体解法就越好。 如果韧性比强度更重要，我们可以将目标单元格中的公式更改为 =(S3+(F3*2))。这样一来，按特定量提高韧性的方案将会比按相同量提 高强度的方案显得更好一些（生成更高的适应度“得分”）。 如果您想要最大化物质的强度（单元格 S5），并且最小化其重量（单元 格 W5），您将要创建一个包含以下公式的新单元格：=(S5^2)-(W5^2)。 当结构坚固轻巧时，此公式将生成较大的数值，当结构薄弱笨重时，将 生成较小的数值，而对于薄弱轻巧和坚固笨重方案，则生成相等的平均 值。因此，您将使用此新单元格作为目标单元格，并最大化其平均值来 满足这两个目标。 第八章：Evolver 附加说明 161 提高速度 在使用 Evolver 解决问题时，您将使用 Evolver 已编写的例程库来控制 进程，并使用 Excel 的电子表格评估函数来检查不同的方案。实际上， Evolver 所消耗的时间中很大一部分被 Excel 占用， 因为其要计算您的电 子表格。有许多方法可以加快 Evolver 最优化和 Excel 重新计算过程的 速度。 ♦ Evolver 的速度与计算机处理器的速度直接相关。Pentium/2. 0ghz 的速度大约是 Pentium/1. 0ghz 的两倍。这表示 Evolver 在相同的 时间内将能够评估两倍多的试验。 尽量避免在窗口中重新绘图。在屏幕上绘制图形和数字都需要时间， 有时最优化就花费了一半以上的时间！ 如果您的工作表中包含图表或 图形， 它们将明显减慢重新计算的时间。 您可以通过关闭 Evolver“模 型”对话框中的更新显示选项或最小化 Excel 工作表，告知 Excel 在 Evolver 解决问题时不要花费时间来进行绘图。此外，您可以通过观 察状态栏来查看解决问题的速度有多快。 当 Evolver 或多或少地收敛于一个解法，并且在一段时间内（例如， 过去的 1000 次试验）对最佳解法没有改进时，您可能希望增加突变 率以允许 Evolver 扩大其对解法的搜索范围，而不是继续使用主要 交叉来完善当前群体中的解法。您可以通过“Evolver 观察器”使 用“群体设置”命令来增加突变率。 更严格地设置可调整单元格必须介于其中的范围；这将为 Evolver 创建一个必须在其中搜索解法的较小区域，并因此加快此进程的速 度。请确保您的范围足以允许 Evolver 随意研究所有现实解法。 ♦ ♦ ♦ 162 提高速度 第八章：Evolver 附加说明 163 如何执行 Evolver 的最优化 在本节中，我们将更具体地说明如何执行 Evolver 的最优化算法。 注：您不需要只是为了使用 Evolver 而了解此材料。 Evolver 所采用遗传算法技术（如菜单和顺序求解方法）中的大部分都 是以过去十年内遗传算法领域的学术成就为依据。但是，Evolver 中包 含的大多数派生求解方法，以及多组可调整单元格、回溯、策略和概率 功能则是 Evolver 独有的。 Evolver 使用稳态方式。这意味着每次只能替换一个组织，而不能替换 整个“世代”。此稳态技术已证实与世代替换方法的效果相同或者更出 色。要确定 Evolver 已运行的等量的“世代”，请获取其已研究的单个 试验的数量并除以群体的大小。 选择 在创建新组织时，Evolver 会从当前的群体中选择两个父对象。适应度 得分较高的组织更有可能被选为父对象。 在 Evolver 中，采用基于排名的机制来选择父对象。排名方式提供了一 条平滑的选择概率曲线，而不是某些选择父对象进行繁殖的机率与其适 应度成正比的遗传算法系统。这可以防止良好的组织从一开始就完全控 制进化。 交叉 由于每种求解方法调整变量的方式不同，因此 Evolver 将采用针对此类 型问题最优化的不同交叉例程。 基本的“菜单”求解方法使用统一的交叉例程来执行交叉。这意味着不 会在某一时刻突然中断特定方案中的变量列表并分别处理两个区块（称 为“单点”或“两点”交叉），而是通过随机选择将要属于某一组或另 一组的项目来形成两个组。传统的 x 点交叉可能会使搜索偏向无关紧要 的变量位置，而统一的交叉法则被认为能够更好地保存方案，并且可以 从两个父对象中生成任何方案。 164 如何执行 Evolver 的最优化 “顺序”求解方法使用与 L. Davis 的《Handbook of Genetic Algorithms》 （遗传算法手册）*中所述的顺序交叉运算符相似的算法来执行交叉。此 求解方法将从一个父对象中随机选择项目，在另一个父对象中找到项目 的位置，并按照在第一个父对象中出现的相同顺序将剩余项目复制到第 二个父对象中。这样可以在创建一些新的子次序时保留初始父对象中的 部分子次序。 突变 与交叉相同，可以为每种不同的求解方法自定义突变方法。基本的“菜 单”求解方法通过单独查看每个变量来执行突变。您可以为组织中的每 个变量生成一个介于 0 和 1 之间的随机数，如果变量获得的数值小于或 等于突变率（例如，0. 06），则此变量将发生突变。突变的数量和性质 由专有算法自动确定。变量的突变包含使用随机生成的数值（位于其取 值范围内）对其进行替换。 为保留所有初始值，“顺序”求解方法通过交换组织中部分变量的位置 来执行突变。执行的交换数量按照突变率设置（从 0 到 1）的增加和减 少成比例地进行增加或减少。 替换 由于 Evolver 使用排名顺序而不是世代替换方法，因此表现最差的组织 将始终使用通过选择、交叉和突变创建的新组织来进行替换，无论其适 应度“得分”如何。 采用 Palisade 的专有“回溯”技术执行严格约束条件。如果新的子孙违 反某些外部施加的约束条件，则 Evolver 将对子孙的其中一个父对象进 行回溯，从而更改该子孙，直到其属于有效的解法空间。 约束条件 * Davis, Lawrence (1991). New York: Van Nostrand Reinhold. 165 第八章：Evolver 附加说明 166 如何执行 Evolver 的最优化 附录 A：Evolver 自动化 VBA Evolver 随附一套建立使用 Evolver 功能的自定义应用程序的完整宏语 言。Evolver 的自定义函数可以在 Visual Basic for Applications (VBA) 中用于设置和运行最优化，并显示最优化结果。有关此编程接口的更多 信息，请参见可以通过 Evolver“帮助”菜单获取的 Evolver Developer Kit 帮助文档。 附录 A：Evolver 自动化 167 168 VBA 附录 B：故障排除/问与答 故障排除/问与答 本节回答某些关于 Evolver 的常见问题，让您随时了解常见问题、难题 和建议。在阅读完本节后，您可以按本手册起始章节中所列的电话号码 致电 Palisade 客户支持。 问题： 为什么我无法从 Evolver 获得有效答案？ 回答： 确保正确设置 Evolver 对话框。大多数问题与变量的设置有关。 每个可调整单元格组应当为唯一， 因为无法使用多个求解方法来 处理单个单元格或单元格范围。 问题： Evolver 是否可以处理概念或范畴，而不只是数字？ 回答： 由于数字只是符号，因此 Evolver 不能直接处理各种数据。在 Excel 中使用查找表来在整数和文本字符串之间转换。最后， Evolver（与所有计算机程序一样）只能处理数字，但是您的界 面可以使用这些数字来表示和显示任何字符串。 问题： 即使我采用相同的方式填写对话框，并让 Evolver 运行同样长 的时间，为什么 Evolver 有时还能找到不同的解法？ 回答： 与生物界中的自然选择案例一样，Evolver 遗传算法在搜索解法 时并不是始终按照相同的路径 （除非您使用固定随机数生成器种 子）。相反，“不可预测性”使 Evolver 可以解决更多类型的问 题，并且经常可以找到比传统方法更好的解法。Evolver 的遗传 算法引擎不只是执行一系列预先编程的命令， 或者通过数学公式 插入值， 而是以更有效的方式同时尝试多个随机假设方案， 然后 通过多个也包含随机元素的“适者生存”运算符来对搜索进行 优化。 附录 B：故障排除/问与答 169 问题： 为什么找到的最佳解法没有变化？ 回答： 您可能在 Evolver“模型”对话框中指定了错误的目标单元格。 Evolver 查找此空白单元格，而值没有改变的原因是由于单元格 中没有公式。要修复此问题，请显示 Evolver“模型”对话框， 并选择正确的目标单元格； 即准确反映每种解法好/坏的单元格。 正确的目标单元格具有直接或间接与 Evolver 要调整的变量（可 调整单元格）相关的公式。 问题： 我的电子表格模型中的某些单元格包含“####”符号。 回答： 如果单元格过小而不能显示其中的所有内容时，将显示几个 “####”符号。增加单元格大小。 问题： Evolver 正常运行，但有没有获得更好结果的简单方法？ 回答： 请考虑放宽问题中的约束条件， 包括变量范围。 通过惩罚函数将 严格约束条件更改为宽松约束条件（请参见“第八章：Evolver 附加说明”中的“添加约束条件”）。Evolver 可以尝试的限制 过多则可能会妨碍 Evolver 对可以产生更好结果的可能领域的 研究。请牢记，让 Evolver 研究可能性领域的时间越长，则找到 优化解法的可能性就越高。有关如何微调 Evolver 的更多理念， 请参见“第八章：Evolver 附加说明”。 Evolver 可以运行的方案越多，则结果就越好。通过关闭用于显 示更新的“每次重新计算”选项来加快 Evolver 进程的速度。 170 故障排除/问与答 附录 C：其他资源 其他学习资源 以下列表是有关遗传算法的精选书籍，以及与人工生命相关的资料。星 号 (*) 表示 Palisade 重点推荐。 书籍 • Bolles, R. C. , & Beecher, M. D. Intelligence as Adaptive Behavior: An Experiment in Computational Neuroethology. Genetic Algorithms and Simulated Annealing. Macroevolutionary Dynamics: Species, Niches, and Adaptive Peaks. • Fogel, L. , Owens, J. , and Walsh, J. Artificial Intelligence through Simulated Evolution. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press. p. 33 172 其他学习资源 • Maynard Smith, J. Tuning Neural Networks with Genetic Algorithms. In AI Expert p. 27 • Wayner, Peter (January, 1991). Genetic Algorithms: Programming Takes a Valuable Tip from Nature. In Byte Magazine v16 p. 361 杂志与通讯 • Advanced Technology for Developers (monthly newsletter). Jane Klimasauskas, Ed. , High-Tech Communications, 103 Buckskin Court, Sewickley, PA 15143 (412) 741-7699 • AI Expert (monthly magazine). Larry O’Brien, Ed. , 600 Harrison St. , San Francisco, CA 94107 (415) 905-2234. *Although AI Expert ceased publishing in the spring of 1995, its back issues contain many useful articles. • Applied Intelligent Systems (bimonthly newsletter). 167 Old Post Rd. , Southport, CT 06490 (203) 259-1661 • Intelligence (monthly newsletter). Edward Rosenfeld, Ed. , PO Box 20008, New York, NY 10025-1510 (212) 222-1123 • PC AI Magazine (monthly magazine). [. . . ] "Latin Hypercube Sampling (A Program Users Guide)": Technical Report SAND79-1473, Sandia Laboratories, Albuquerque (1980). "Risk Methodology for Geologic Displosal of Radioactive Waste: A Distribution - Free Approach to Inducing Correlations Among Input Variables for Simulation Studies": Technical Report NUREG CR 0390, Sandia Laboratories, Albuquerque (1980). • McKay, M. D, Conover, W. J. , and Beckman, R. J. "A Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code": Technometrics (1979) 211, 239-245. [. . . ]